《返樸》的“賢說八道”專欄曾刊發(fā)中科院物理研究所曹則賢研究員所著《驚艷一擊：數(shù)理史上的絕妙證明》一書中的若干文章，許多讀者留言詢問何時可購得全書。終于，此書姍姍上市了，目前正在預售，點擊
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對于有智之士來說，再也沒有比一個真正的挑戰(zhàn)性問題更迷人的了，這類問題的解決可以予人以名聲并成為一座永恒的豐碑。

——約翰·貝努里，1696

作者序

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

我出生的時候，我的出生地幾乎處于原始農業(yè)社會。非常幸運的是，我是我們村小學的首屆學生。在我上大學之前，除了課本我沒讀過幾本別的書，自己花錢買的書只有兩本小說。我是上初二的時候才見識物理這門課的，但是到了高二結束，四年所學也不過是受力分析、直流電路和幾何光學的一些連皮毛都算不上的內容。在這之前我學過一點算術和數(shù)學（算術和數(shù)學似乎不該并列，估計數(shù)學是用來指代代數(shù)和三角函數(shù)以有別于被當作只有加減乘除的算術了），后來有一點平面幾何和立體幾何。我上大學后給中學生輔導平面幾何，自信拿根粉筆能對付習題集里所有的題。直到很久以后的某一天，我看到牛頓的橢圓/拋物軌道對應平方反比律萬有引力的平面幾何證明（一般的物理學家也看不懂啊，所以好心的錢德拉塞卡只好為物理學家們寫了個通俗版）、惠更斯關于等時線是擺輪線的平面幾何證明，頓時感到灰心喪氣。作為一個至今當了快20年物理研究員、教過不少名牌大學的教授，我可以非常自信地說，目前這個世界上99.99%的數(shù)學和物理知識都是我聞所未聞、見所未見的。任何一個數(shù)學和物理的概念，都有太多我不知道、知道了也可能理解不了的內容。

空氣中有竊竊私語聲：“人們有受教育的需求，人們更有受高品質教育的需求?！?/P>

不知從何時起，我有一股愿望，就是寫一點我知道的數(shù)學和物理與人分享，早一點告訴朋友們外面真有知識的海洋。我當然只是想象卻沒親身體會過那海洋的闊與深，但從水溝到海洋總要經過幾條江河不是。于是，過去的幾年里，我一直在撰寫一些關于數(shù)學（家）和物理學（家）的小冊子。其中，《量子力學-少年版》和《一念非凡》算是取得了初步的成功。當前的這本小冊子，某種意義上是《一念非凡》的姐妹篇。本書共論及30個著名的證明問題，篇幅長短不一，看似獨立卻又不失內在的關聯(lián)。大致說來，其中18個是數(shù)學的，12個是物理的。我說“大致”是因為有些問題很難說清是數(shù)學的還是物理的，畢竟數(shù)學是物理的語言、工具甚至結果，數(shù)學物理還是專門的物理分支呢。我這樣選題，就是想重申數(shù)學和物理之間沒有必然的界限。哦，對了，我2018年為一個系列講座起的名字“學不分科”就反映了我一直的想法：“硬生生地把學問分成不同的學科是荒唐的，學習者不可自設藩籬！” 至于問題的選擇，沒有什么標準或原則，只是這些問題碰巧我知道而已。有些問題可能很大，會包含其它的著名證明，比如高斯的代數(shù)基本定理的證明就包含在五次方程沒有代數(shù)解一章里。這本書里，有我自己對相關問題的思考與了悟，我保證你在其它地方是看不到的。我的朋友，請耐心分享我略有所悟時的抓耳撓腮。這些問題是真問題，來自自然的問題，構成人類知識的問題，而不是你在考卷上遇到的那類假問題。與原創(chuàng)的數(shù)學和物理搏斗是我寫作這本書的樂趣之一。

限于作者水平，本書收錄的數(shù)學證明，其水平在數(shù)學家眼里可能是不足道的。然而，證明一個數(shù)學問題，有人說是在找尋精神參照，這話我信。我們有理由在不同層面上欣賞證明帶來的心靈愉悅。當我自己用高斯整數(shù)的概念證明了正方格子具有無窮多種單向縮放對稱性時（見《一念非凡》第199頁），真是興奮到要尖叫，盡管那是個不值得一提的小工作。倘使你真地證明了龐加萊猜想一類的東西，你也就能理解為什么佩雷爾曼不稀罕任何他人或者機構的承認了。

本書的一個特點是強調發(fā)現(xiàn)者的生卒年份——因而也就確定了其所處的時代——以及作出發(fā)現(xiàn)（證明）的時間，這一點非常重要。知識發(fā)生時刻之間的關聯(lián)，會部分反映知識的內在發(fā)展邏輯。在歷史語境下理解所學到的知識，容易看到知識的自然體系，此應成為學者的習慣。我們會發(fā)現(xiàn), 這些偉大的學者作出偉大發(fā)現(xiàn)時的年齡一般不大，這對少年朋友們來說可能是鼓舞人心的、催人奮進的，對中老年朋友們來說可能難免令人感到沮喪。不過，亡羊補牢，未為遲也。在中老年階段的某刻知道奮進，雖不能有大成就，然獲得足夠的學識成為奮進少年的伴讀，不亦賞心悅事乎？本書也算是一項科學（史）工作的示例，主旨是介紹一些數(shù)學和物理的重要證明，更多的著墨點卻在于作出證明的人以及證明帶來的啟示，對每一個問題的闡述我都盡可能包括它的歷史、哲學、硬核內容以及影響，影響包括已發(fā)生的和可能會有的。通過本書我還想教會我的少年朋友們嚴謹?shù)膶W術表達方式，其中回溯原始論文是基本功之一。我也一直強調語言的重要性。閱讀過本書，看看那些科學大家之成就的多語種表述和此前求學的多語種路徑，你會明白多語言學習是成就他們這些文化人的保證之一。本書中，關鍵概念都會注明其西文寫法，文后附上相關原著、名著，方便讀者朋友們深入研習。

愚作書，總期望有這樣的效果：“中學生不畏其難，大學生、研究生謂其難，而專業(yè)研究人員或畏其難也?！?一本書若使得中學生畏難，那是要斷學術香火的節(jié)奏；若是不能做到讓大學生、博士生老爺們覺得難，那是會被他們嘲笑的；尤為重要的，是要包含一些專業(yè)學者也認可其難度的內容，以為青少年朋友們今天當知道、來日可求索的目標，而這恰是學術未來的希望所在。這幾點，雖然我自知做不到，但這不妨礙我把它作為對個人著述的要求。

有些人可能會覺得這本書難，會抱怨里面數(shù)學太多。其實，讀數(shù)學、物理書和看小說一樣，并非完全能看懂的就是好的。這本書的目的之一更在于增強見識。這里面的一些內容你不懂沒關系，你聽說過就很了不起了。若是那公式，讓你當時感到賞心悅目，那就很好。你不需要句句都讀懂，遇到看不懂的地方，直接跳過去，看過就有收獲，看完則會滿載而歸。我的建議是，別管看懂看不懂，先看一遍再說！玩得來由淺入深才能造就一個深刻的民族！一個人若沒讀過動輒過千頁的書，算不上學者（learning man, lernende(r)），沒有為學術同行認可的過千頁的專著，那就算不上學者（learned man，gelehrte(r)）。偷偷地告訴你，本書里的許多內容我也不懂，我也不指望讀者們都懂，但是你要感興趣，要知道這世界上有這些有趣而又深刻的學問，而且那深刻是你觸手可及的。追求學問如同爬山，面前有些小山包，你努努力就登上去了，你還要看到遠處有崇山峻嶺，再往遠處，高聳云天處是秀麗俊朗的喜馬拉雅。

我無意寫什么科普書，尤其不會去寫某些人認為的那種科普書。那些發(fā)現(xiàn)這本書不好懂因此惱怒的人大可不必如此，這本書還真不是為你寫的。至于說有沒有這么聰明的少年，讀得來我的《量子力學-少年版》和《相對論-少年版》，我只能告訴你讀懂這兩本書的少年恐尚不足以夸耀自己的聰明！我愿意為之付出的少年，按照開爾文爵士的標準，是那些知道

"

不過就是2+2=4的少年。1918年，奧地利18歲的中學生泡利已經發(fā)表廣義相對論的論文了，21歲上人家就已經寫出了相對論的經典綜述文章并以關于氫分子離子的量子力學研究獲得了博士學位。一兩百年前歐洲的少年能做到的事情，今日我中華大地上的少年豈能沒人做到！咱不能因我等的不夠聰明而降低文化的標準，不能因我等的不求上進而降低對少年的期望。

一個年輕人的首要義務是要有野心。最高貴的野心是留下一些有永恒價值的東西。野心是世界上所有偉大成就背后的驅動力（引自 men of mathematics）。一個人在學問上有所成就其實不需要多少條件。在內，不過需要你是一個極為投入的天才；在外，只不過需要有高人的耳提面命兼或前賢的浸染熏陶。也許你是個天才少年，但更重要的是你要幸運地成為一個及時被先哲教導了的少年！先哲的教導很重要，哪怕是自學，依然需要先哲的存在。前人的成就、經歷與反思，未完成的思考，都是少年才俊成長不可或缺的營養(yǎng)。所以，我的建議是你一定要去讀先哲的名著。你在年少的時候，一定要有被先哲名著震驚一次的經歷。先哲名著會讓你有凌絕頂一覽眾山的感覺。絕頂覽山，山不只是小，山還會變得清晰。會當凌絕頂，一覽眾山清楚！當然，你還要吃得了苦，耐得住寂寞。雅可比（1804-1851）決定學數(shù)學時，寫信告訴叔叔其對未來辛勞的估計。他說歐拉、拉格朗日、拉普拉斯這些人留下的巨著需要思想之巨大投入，在有能力站到這些巨人肩膀之前，是不指望有片刻寧靜從容了(it demands a strain which permits neither rest nor peace)。

我寫這本書，當然不只是有激勵青少年朋友的目的。寫這本小書是一場致敬之旅，也是一場撫慰之旅，撫慰那個頂著烈日一邊割草一邊想著算術題的少年——他剛剛在別人的書本里看到了一道民兵肩上架著機槍打飛機的幾何題，那讓他感到格外的新奇并因此而激動不已。今天回想起來，我16歲以前沒念過書，26歲以前沒念過象樣的書，40歲以前沒明白先哲的原著才是值得念的書。我希望我的努力，能讓一些少年早早知道這世界存在先哲的原著，早早涌起閱讀并弄懂先哲原著的沖動?？茖W的最終目的是向人類智慧致敬，而個人踏上科學之旅則是為了最終攀上巨人的肩膀。

本書的一些篇章后面我會說一些多余的話。或許撰寫本書的主要目的就是為了說出那些多余的話。一塊土地上，倘若真正熱愛科學、有能力理解科學的人也有機會去循著科學發(fā)展自身的規(guī)律去做科學，那塊土地上將來或許可能大概就會有科學，就能從科學的角度對人類文明作出本民族的貢獻。

呃，我是一個內向、緘默的人。

是為序。

目 錄

序

001 素數(shù)無窮多的證明

002 歐拉恒等式

003 費馬數(shù)f_{5（5為下標）}不是素數(shù)

004 關于無理數(shù)的證明

005 魏爾斯特拉斯病態(tài)函數(shù)

006 自然數(shù)平方和恒等式

007 三角形垂線交于一點的證明

008 尺規(guī)法作17邊形

009 三角形面積的希羅公式

010 不著一字的證明

011 復數(shù)用于平面幾何證明

012 四元數(shù)非對易性

013 五次代數(shù)方程無根式解

014 平面上圓密排定理的證明

015 等周問題

016 柏拉圖多面體只有五種的證明

017 晶體空間群

018 準晶作為高維晶體的投影

019 泡泡合并構型的證明

020 反射定律與折射定律

021 慣性

022 速降線問題

023 萬有引力平方反比律的證明

024 電子自旋是相對論性質

025 存在反粒子的證明

026 存在電磁波的證明

027 引力彎曲光線的證明

028 未完的黎曼猜想證明

029 費馬大定理的證明

030 人性的證明—波利亞教授不是變態(tài)

跋. 關于證明的思考點滴

《驚艷一擊》拾珠

倘使你真的證明了龐加萊猜想一類的東西，你也就能理解為什么佩雷爾曼不稀罕任何他人或者機構的承認了。

在歷史語境下理解所學到的知識，容易看到知識的自然體系，此應成為學者的習慣。

我也一直強調語言的重要性，閱讀本書，看看那些科學大家之成就的多語種表述和此前求學的多語種路徑，你會明白多語言學習是成就他們這些文化人的保證。

咱不能因我等的不夠聰明而降低文化的標準，不能因我等的不求上進而降低對少年的期望。

能讓一些少年早早知道這世界存在先哲的原著，早早涌起閱讀并弄懂先哲原著的沖動。

任何知識，都是知識，是否有用，那要看有沒有人會用。

一個做實驗的人對實驗數(shù)據信誓旦旦，這份天真估計來自從來沒設計過、沒拆解過甚至沒了解過任何儀器的矜持。

每一滴知識的水珠可能都映照著整個知識的海洋。

因為不容易記住一些方程或者公式，許多人早在用盡自己的聰明才智之前就從學習數(shù)學的道路上退卻了，殊為可惜。

若任何配偶集合非空的數(shù)學家是一個合格的數(shù)學家，則其配偶自身必然是合格的數(shù)學家。

極值發(fā)生在對稱的條件下—其它物理情形涉及極值問題時也當如此理解，這是筆者最近的領悟。

哪有什么反射和折射的區(qū)別。光線走它想走的路，且光路總是取極值。大自然就是這么任性。

懶是宇宙最高法則。

很多時候，實驗并不能帶來決斷(affirmative declaration)。對于某些 critical(難以區(qū)分的)情形，實驗是無能為力的。

真正的實驗，一定是理論的。

所謂專業(yè)，應該是在大背景上突出的特長。你若說空白的背景也是背景，我還真無從反駁，只恐怕空白的背景下你的那棵孤零+零的特長之樹，未必能有多高大。

你不得不服氣，拉格朗日太了不起了!

在二十世紀此地所受到的幾何教育所遠不能 達到的，甚至對著書本重復人家的欲求技術之通透，創(chuàng)造了技術之基的科學可能是必要的前提，否則對技術的掌握只能是膚淺的!

這些歷史脈絡反映的學科整體關聯(lián)性在我們的教科書里是統(tǒng)統(tǒng)沒有的，悟不出來就只能權當不存在了。

哪有什么驚艷一擊，只是人家常試常得。

牛頓的證明，不好懂，愿意證明自己的平面幾何連皮毛都沒學到的讀者可以挑戰(zhàn)一下自己。

量子力學和(狹義)相對論是不分家的。它們有著千絲萬縷的聯(lián)系，只是在學問的深處才體現(xiàn)出來。

數(shù)學，物理，很難說一個不懂數(shù)學的人做的物理算是物理。

普朗克從瞎猜的熵與內能關 系得到了黑體輻射公式，又從玻爾茲曼的統(tǒng)計物理原理出發(fā)得到了黑體輻射公式。

若量子力學不完整，這世界也不完美。

這說明人家對科學研究是怎么檔子事兒有清醒的認識，也知道那些沒有成就的研究者也是這個國家之科學希爾伯特空間 的固有維度。贏者通吃的國度，恐怕還是缺了點兒科學的土壤，倒是獎掖了花樣、雞賊與掠奪。

諾獎也無力提升一個人的科學名望，歷史到底還是客觀的。這樣想來，諾獎也不必為自己的蒼白而慚愧。

quantum mechanics(量子力學)，classical mechanics(經典力學)，electrodynamics (電動力學)，thermodynamics(熱力學)被當成力學好委屈哦。給你們一人一盤醬油炸米糕體會一下它們的心情。

我從來不懷疑物理學家的人品，我懷疑物理學和大自然!

黎曼是人類的智慧高峰之一，是個明顯的標尺。證明了黎曼猜想，人 類的智慧就又往上推進一步。

讀過，又一直讀不懂，才知道什么是真正有滋味的遺憾。這遺憾，足以告慰自己匱乏的智商。

如今，費馬大定理算是得到了證明，但也許我們還是可以期待費馬曾以為得到過的那種簡明的證明。為了那個簡潔的證明，我想一定還有數(shù)學家在努力著，而我也愿意等。

看來，知道要臉，是一個學者的基本素質。

天若佑中華，當不使吾國天才失教。

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