這是一個(gè)高考喜歡考但卻比較少考的考點(diǎn)。

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，且f(a)?f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)至少有一個(gè)零點(diǎn)。

理解非常簡(jiǎn)單。如圖，點(diǎn)a(a,f(a))在x軸下方，點(diǎn)b(b,f(b))在x軸上方，顯然，函數(shù)圖像必然要穿過(guò)x軸，每穿過(guò)一次，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。

我們可以利用這個(gè)定理來(lái)判斷方程根的存在，甚至強(qiáng)化這個(gè)定理就發(fā)展出二分法。

高考通常會(huì)這樣考。

如果函數(shù)f(x)=...有一個(gè)零點(diǎn)x ，則x 在（ ）區(qū)間。

a. b. c. d.

解法不啰嗦，定理的證明卻非常艱難。這正符合了我們對(duì)好數(shù)學(xué)的定義：理解容易，證明困難，威力巨大。我很喜歡這個(gè)定理。

從這個(gè)定理出發(fā)，我們還可以（猜出）類(lèi)比出其他的性質(zhì)。

比如這樣

猜測(cè)1、如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，且f(a)=a,f(b)=b，則對(duì)于a,b之間的任何一個(gè)數(shù)c，方程f(x)=c至少有一個(gè)根。

要得到猜測(cè)1很容易，把零點(diǎn)定理的圖歪一下就是了。

猜測(cè)2、如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則區(qū)間(a,b)上至少存在一個(gè)點(diǎn)x0，使f'(x0）=0

要得到猜測(cè)2也很容易，把零點(diǎn)定理的圖變光滑就是。

猜測(cè)3、如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，可導(dǎo)，則區(qū)間(a,b)上至少存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得

要得到猜測(cè)3，只要將猜測(cè)2的圖歪一歪即可。

猜測(cè)4、如果函數(shù)f(x),g(x)都在區(qū)間[a,b]連續(xù)，可導(dǎo)，則區(qū)間(a,b)上至少存在一點(diǎn)x0，使得

猜測(cè)4不容易想到，所以比較厲害了，實(shí)際上是代入了參數(shù)方程。

咱也不要證明，證明好啰嗦，猜應(yīng)該是很容易的哦，看看圖就猜到了。的確，數(shù)學(xué)家都是這樣先猜出來(lái)，再慢慢想辦法證明的，你猜到了，就說(shuō)明你有做數(shù)學(xué)家的潛能啊。

中學(xué)學(xué)過(guò)的那個(gè)叫做零點(diǎn)定理，猜測(cè)1叫做介值定理，猜測(cè)2叫做羅爾中值定理，猜測(cè)3比較有名，叫拉格朗日中值定理，猜測(cè)4最牛逼，叫柯西中值定理。